почта Моя жизнь помощь регистрация вход
Краснодар:
погода
июля
6
понедельник,
Вход в систему
Логин:
Пароль: забыли?

Использовать мою учётную запись:

  отправить на печать

     
     ГОСТ Р 50779.21-2004

Группа Т59


НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА
СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Часть 1

Нормальное распределение

Statistical methods. Determination rules and methods
for calculation of statistical characteristics based on sample data.
Part 1. Normal distribution

     
     
     ОКС 03.120.30

Дата введения 2004-06-01



Предисловие

     
     1 РАЗРАБОТАН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Статистические методы в управлении качеством продукции"
     
     2 ВНЕСЕН Научно-техническим управлением Госстандарта России
     
     3 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 12 января 2004 г. N 3-ст
     
     4 Настоящий стандарт разработан с учетом основных нормативных положений международного стандарта ИСО 2854:1976 "Статистическое представление данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних значениях и дисперсиях" (ISO 2854:76 "Statistical interpretation of data - Techniques of estimation and tests relating to means and variance", NEQ)
     
     5 ВЗАМЕН ГОСТ Р 50779.21-96
     
     
     Информация об изменениях к настоящему стандарту публикуется в указателе "Национальные стандарты", а текст этих изменений - в информационных указателях "Национальные стандарты". В случае пересмотра или отмены настоящего стандарта соответствующая информация будет опубликована в информационном указателе "Национальные стандарты"
     
      

Введение

     
     Стандарт устанавливает процедуры и методы решения ряда практических задач статистики в случае, когда наблюдаемые величины являются случайными и распределены по нормальному закону.
     
     В стандарте изложены методы решения следующих задач:
     
     а) точечного оценивания параметров нормального распределения случайной величины;
     
     б) точечного оценивания вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал и вне его;
     
     в) интервального (доверительного) оценивания параметров нормального распределения и доли распределения;
     
     г) проверки гипотез об этих же величинах.
     
     Все процедуры, приведенные в стандарте, используют ограниченный ряд статистически независимых наблюдений, полученных в производстве, в лабораторных условиях, при контроле, измерении, оценке и т.п.
     
     

     1 Область применения

     
     Настоящий стандарт устанавливает методы, применяемые для:
     
     - оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;
     
     - проверки гипотез относительно значений этих параметров;
     
     - оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.
     
     Примечание - Вероятность попадания случайной величины в интервал равна доле распределения случайной величины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие "доля распределения случайной величины в интервале", которое далее применено в настоящем стандарте.
     
     
     Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:
     
     - элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем выборки должен составлять не более 10% объема генеральной совокупности;
     
     - наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако если распределение вероятностей несильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10 единиц, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.
     
     

     2 Нормативные ссылки

     
     В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:
     
     ГОСТ Р 50779.10-2000 (ИСО 3534-1-93) Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения
     
     ГОСТ Р 50779.11-2000 (ИСО 3534-2-93) Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения
     
     Примечание - При пользовании настоящим стандартом целесообразно проверить действие ссылочных стандартов по указателю "Национальные стандарты", составленному по состоянию на 1 января текущего года, и по соответствующим информационным указателям, опубликованным в текущем году. Если ссылочный документ заменен (изменен), то при пользовании настоящим стандартом следует руководствоваться замененным (измененным) стандартом. Если ссылочный документ отменен без замены, то положение, в котором дана ссылка на него, применяется в части, не затрагивающей эту ссылку.
     
     

      3 Термины и определения

     
     В настоящем стандарте применены термины по ГОСТ Р 50779.10 и ГОСТ Р 50779.11, а также следующие термины с соответствующими определениями:
     
     3.1 точечное оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде одного численного значения;
     
     3.2 интервальное (доверительное) оценивание параметра: Получение оценки параметра в виде доверительного интервала;
     
     3.3 доверительный интервал: Интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее 1- (где 1- - доверительная вероятность).
     
     Примечание - Доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним;
     
     
     3.4 нулевая гипотеза: Предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяют по статистическим данным.
     
     Примечание - В частности, в настоящем стандарте рассмотрены предположения о значениях параметров распределения.
     
     

     4 Обозначения
     

В настоящем стандарте применены следующие обозначения:

 -

математическое ожидание нормального закона распределения (среднее значение генеральной совокупности, далее - среднее значение);

 -

известное значение параметра ;

,  -

математические ожидания для двух различных генеральных совокупностей;

 -

точечная оценка параметра ; ;

,  -

верхняя и нижняя доверительные границы параметра ;

 -

точечная оценка разности значений параметров  и ;

 -

стандартное (среднеквадратичное) отклонение нормально распределенной случайной величины;

 -

дисперсия генеральной совокупности; ;

 -

известное значение дисперсии генеральной совокупности, ;

 -

известное численное значение параметра ;

,  -

известные значения параметров  и  для двух генеральных совокупностей;

 -

точечная оценка параметра , ;

,   -

верхняя и нижняя доверительные границы параметра ;

 -

точечная оценка дисперсии;

 -

выборочное значение наблюдаемой случайной величины;

 -

выборочное значение случайной величины из первой генеральной совокупности;

 -

то же, из второй генеральной совокупности;

, ,  -

объемы выборок;

, ,  -

среднеарифметические значения (выборочные средние);

 -


выборочное стандартное (среднеквадратичное) отклонение;

,  -

то же для двух выборок соответственно;

 -

риск первого рода (вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна);

 -

уровень значимости при проверке гипотез, а также доверительная вероятность ;

 -

число степеней свободы;

,  -

квантили стандартного нормального закона распределения уровней  и  соответственно;

,  -

квантили распределения Стьюдента с  степенями свободы уровней  и соответственно;

 -

квантиль распределения Фишера с  и  степенями свободы уровня ;

, ,   -

квантили  распределения с  степенями свободы уровней ,  и  соответственно;

,  -

нижняя и верхняя границы интервала соответственно;

 -

доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданный интервал ;

 -

доля распределения (вероятность попадания) случайной величины вне интервала , причем ;

,  -

точечные оценки  и ;

,  -

нижние односторонние доверительные границы для  и ;

,  -

верхние односторонние доверительные границы для  и ;

 -

случайное событие: например, попадание случайной величины в заданный интервал;

 -

вероятность случайного события ;

 -

сумма выборочных значений.

     
     
     5 Общие требования

     
     5.1 Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:
     
     - точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;
     
     - точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;
     
     - точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.
     
     5.2 Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6, 7, 8), включающие в себя:
     
     1) статистические и исходные данные;
     
     2) определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (приложения А, Б, В, Г), а также проведение вычислений параметров коэффициентов по приведенным формулам;
     
     3) результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.
     
     5.3 Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.
     
     5.4 Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.
     
     5.5 Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8).
     
     Номера таблиц разделов 6, 7, 8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2,  5.3, 5.4.
     
     
Таблица 5.1 - Номера таблиц для решения задач по оценке среднего значения (раздел 6)

Задача оценки среднего значения

Номер таблицы


 известна

 неизвестна

Оценка среднего

6.1

6.2

Сравнение среднего значения с заданным значением

6.3

6.4

Сравнение двух средних

6.5

6.6

Оценка разности двух средних

6.7

6.8

     
     
Таблица 5.2 - Номера таблиц для решения задач по оценке дисперсии (раздел 7)

Задача оценки дисперсии

Номер таблицы

Оценка дисперсии

7.1

Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением

7.2

Сравнение двух дисперсий или двух стандартных отклонений

7.3

     
     
Таблица 5.3 - Номера таблиц для решения задач по точечной оценке доли распределения случайной величины в заданном интервале (раздел 8)

Номер таблицы

 известна

 неизвестна

8.2

8.3

     
     
Таблица 5.4 - Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли распределения случайной величины при неизвестной дисперсии в заданном интервале (раздел 8)

Заданные границы интервала

Искомая величина

Номер таблицы


,

8.4


,

8.5

,

,

8.6


,

8.7


,

8.8

,

,

8.9

     
     
      5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.
     
     

     6 Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности

     
     6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.
     
      
Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :



2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :


3 Известное значение дисперсии:

3 Вычисляем:



4 Выбранная доверительная вероятность:

4 Вычисляем:



5 Вычисляем:



Результаты

1 Точечная оценка параметра :


2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для :

.

3 Односторонние доверительные интервалы для :

 или

.

     
     Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.
     

     
     
     Примеры
     
     1 Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки  требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения  или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение . Интервал может быть:
     
     - двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью, в каких пределах может лежать ;
     
     - односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что  не выше какого-то значения;
     
     - односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что  не ниже какого-то значения.
     
     2 Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.
     
     3 Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т.е. известным параметром  ), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую или меньшую стороны от центра настройки . Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.
     
     6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.
     

Таблица 6.2 - Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня  с  степенями свободы:



2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня  с  степенями свободы:


3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

3 Вычисляем:


4 Степени свободы:

4 Вычисляем:


5 Выбранная доверительная вероятность:

5 Вычисляем:



6 Вычисляем:




7 Вычисляем:



Результаты

1 Точечная оценка параметра :


2 Точечная оценка параметра :


3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра :

.

4 Односторонние доверительные интервалы для параметра :

                                                           (1)

или

.                                                             (2)

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

     
     
     Примеры - Примеры те же, что в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.
     
     6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением  при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.
          
     
Таблица 6.3 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением  при известной дисперсии
     

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :



2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :


3 Заданное значение:

3 Вычисляем:



4 Известное значение дисперсии генеральной совокупности:


или стандартного отклонения:


5 Выбранный уровень значимости:


Результаты

Сравнение выборочного среднего значения   с заданным значением :

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


.

2 В одностороннем случае:

а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем  (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


;

б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем  (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


.

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

     
     
     Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т.е. значение  известно.
     
     Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.
     
     6.4 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением  при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.
     
      
Таблица 6.4 - Сравнение неизвестного среднего значения с заданным значением  при неизвестной дисперсии
     

     

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня  с  степенями свободы:



2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня  с  степенями свободы:


3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

3 Вычисляем:



4 Заданное значение:

4 Вычисляем:


5 Степени свободы:

5 Вычисляем:


6 Выбранный уровень значимости:


Результаты

Сравнение выборочного среднего значения   с заданным значением :

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


.

2 В одностороннем случае:

а) предположение о том, что выборочное среднее не менее чем  (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


;

б) предположение о том, что выборочное среднее не более чем  (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

     
     
     Примеры
     
     1 То же, что в примере 6.3, но точность технологического процесса заранее неизвестна.
     
     2 Контрольные проверки в розничной торговле и сфере обслуживания.
     
     Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.
     
     То же - при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же - при продаже тканей в магазинах и т.п.
     
     6.5 Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.


Таблица 6.5 - Сравнение двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

1 Объем выборки:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

3 Известные значения дисперсий генеральных совокупностей:

4 Выбранный уровень значимости:

3 Вычисляем:


;    

4 Вычисляем:



Результаты

Сравнение средних значений двух совокупностей:

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


.

2 В одностороннем случае:

а) предположение о том, что первое среднее не менее второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


;

б) предположение о том, что первое среднее не более второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:


.

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

     
     
     Примеры
     
     1 Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т.е. известны параметры  и . Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение - параметр данного технологического процесса.
     
     2 Требуется определить, одинаково ли среднее значение - параметр содержания кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т.е. дисперсии) для каждого из двух заводов.
     
     6.6 Алгоритм решения задачи сравнения двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.
     
      
Таблица 6.6 - Сравнение двух средних значений при неизвестных дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления


Вторая выборка

Первая выборка

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня  с  степенями свободы:

1 Объем выборки:


2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня ( c  степенями свободы:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:


4 Степени свободы:

3 Вычисляем:

5 Выбранный уровень значимости:

;    


4 Вычисляем:



5 Вычисляем:


Результаты

Сравнение средних значений двух совокупностей:

1 В двустороннем случае:

а) предположение о том, что средние  и  совпадают (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

2 В одностороннем случае:

а) предположение о том, что  (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

;

б) предположение о том, что  (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

     
     
     Примечание - Дисперсии неизвестны, но в предположении могут быть равными.
     
     
     Примеры
     
     1 Примеры те же, что для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем применение задач по 6.5, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.
     
     2 Пример 2 по 6.5 может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.
     
      6.7 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.


Таблица 6.7 - Оценка разности двух средних значений при известных дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

1 Объем выборки:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня :

3 Известное значения дисперсий генеральной совокупности:

4 Выбранный уровень значимости:

3 Вычисляем:

тогда доверительная вероятность равна  

;    

4 Вычисляем:



Результаты

1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров  и  для двух совокупностей:

.

2 Односторонний доверительный интервал для разности :

 или

.

3 Двусторонний доверительный интервал для разности :

.

4 Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.

     
     
     Пример - Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.
     
     Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т.п.
     
      6.8 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.
     

Таблица 6.8 - Оценка разности двух средних значений при неизвестных, но равных* дисперсиях
________________
     * Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления


Вторая выборка

Первая выборка

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня  с  степенями свободы:

1 Объем выборки:


2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня ( c  степенями свободы:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:


4 Степени свободы:

3 Вычисляем:

5 Выбранная доверительная вероятность:

;    


4 Вычисляем:



5 Вычисляем:


Результаты

1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров  и  для двух совокупностей:

.

2 Двусторонний доверительный интервал для разности :

.

3 Односторонний доверительный интервал для разности :

 или

.

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б.

     
     
     Пример - Пример тот же, что в 6.7, но дисперсии неизвестны. Применение этих оценок может встречаться чаще, чем применение оценок по 6.7, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых совокупностях дисперсии неизвестны.
          

    7 Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности

     
     7.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания дисперсии или стандартного отклонения приведен в таблице 7.1.
     

Таблица 7.1 - Точечная и интервальная оценки дисперсии или стандартного отклонения

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантили  распределения с  степенями свободы уровней , ,  и  соответственно:



2 Сумма значений наблюдаемых величин:



3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:


3 Вычисляем:

4 Степени свободы:


4 Вычисляем;

5 Выбранная доверительная вероятность:



Результаты

1 Точечные оценки дисперсии  и стандартного отклонения  генеральной совокупности:

.

2 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии :

.

3 Односторонний доверительный интервал* для дисперсии :

 или                                                     (3)

.                                                          (4)

_______________
     * Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения  являются корнем квадратным из значений границ доверительного интервала дисперсии .

Примечание - Квантили  распределения определяют по таблице В.1 приложения В.

     
     Примеры
     
     1 Оценка точности (среднее значение величины разброса) показателей качества на выходе технологического процесса.
     
     2 Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулирования (например, температура в печи).
     
     Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то определяется точечная оценка  или , а если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то определяют интервальную оценку  или  с верхней доверительной границей.
     
      7.2 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.


Таблица 7.2 - Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Квантили  распределения с  степенями свободы уровней , ,  и  соответственно:



2 Сумма значений наблюдаемых величин:




3 Сумма квадратов значений наблюдаемых
величин:


2 Вычисляем:

4 Заданное значение:



3 Вычисляем:

5 Степени свободы:



6 Выбранная доверительная вероятность:


Результаты

Сравнение дисперсии  с заданным значением  или сравнение стандартного отклонения  с заданным значением :

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

 или  .

2 Односторонний случай:

а) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не более заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

;

б) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не менее заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

 .

Примечание - Квантили  распределения определяют по таблице В.1 приложения В.

     
     
     Примеры
     
     1 Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т.е. известным параметром ) другого оборудования или технологического процесса.
     
     2 Сравнение степени однородности одной совокупности изделий (т.е. величины разброса показателя качества) с известной заранее степенью однородности, характеризуемой стандартным отклонением .
     
      7.3 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей приведен в таблице 7.3.
     

Таблица 7.3 - Сравнение дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

Первая выборка

Вторая выборка

1 Вычисляем:

1 Объем выборки:


2 Сумма значений наблюдаемых величин:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

2 Вычисляем:

4 Степени свободы:



;  


5 Выбранный уровень значимости:

3 Квантили распределения Фишера:



Результаты

Сравнение дисперсий двух совокупностей:

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства дисперсии или равенства двух стандартных отклонений (нулевая гипотеза) отвергается, если:

 или .

2 Односторонний случай:

а) предположение о том, что  (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

;

б) предположение о том, что  (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

.

Примечание - Квантили распределения Фишера определяют по таблицам Г.1-Г.9 приложения Г.

     
     
     Примеры
     
     1 Сравнение точности двух станков-автоматов по результатам контроля геометрических размеров деталей.
     
     2 Соотношение стабильности двух технологий, например отечественного и зарубежного предприятий, на основе сравнения результатов контроля двух выборок из двух соответствующих совокупностей изделий.
     
      

     8 Точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале*

________________
     * Доля распределения случайной величины в заданном интервале равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал. В большинстве практических задач физический смысл, используемый в данном стандарте, имеет понятие - "доля распределения случайной величины в интервале", хотя все приведенные статистические выводы справедливы и для понятия "вероятность попадания случайной величины в интервал".
     
     8.1 Алгоритм вычисления доли распределения случайной величины в заданном интервале  и вне его при известных параметрах нормального распределения приведен в таблице 8.1.
     

Таблица 8.1 - Вычисление доли распределения случайной величины в заданном интервале  и вне его при известных параметрах нормального распределения (вспомогательный алгоритм)

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Среднее значение (математическое ожидание):

1 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная нижняя граница интервала:



2 Стандартное отклонение:

2 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная верхняя граница интервала:



или дисперсия:

3 Доля распределения случайной величины, лежащая ниже границы :

3 Границы интервала:


нижняя

Если значение  не задано, то

верхняя

4 Доля распределения случайной величины, лежащая выше границы :




Если значение  не задано, то

Результаты

1 Доля распределения случайной величины вне интервала :

.

2 Доля распределения случайной величины в интервале :

.

Примечание  - Величины   и   представляют собой  значение функции стандартного нормального распределения,  которые  определяют по таблице А.1 приложения А.

     
     
     Для решения данной задачи не используют выборочные данные, а значения параметров  и  считают известными. Таблица 8.1 содержит вспомогательный алгоритм для решения задач по 8.2-8.9.
     
     Пример - Оценка ожидаемого уровня несоответствий показателя качества продукции (уровня несоответствий) при настройке станка на середину поля допуска или на номинальное значение и известную точность .
     
      8.2 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале  и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии приведен в таблице 8.2.
     

Таблица 8.2 - Точечное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале  и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Точечная оценка среднего значения:



2 Стандартное отклонение:

2 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:


нижняя

или дисперсия

верхняя

3 Сумма значений наблюдаемых величин:

3 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы  (см. таблицу 8.1):


4 Границы интервала:

Если значение  не задано, то

нижняя

4 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы  (см. таблицу 8.1):

верхняя



Если значение  не задано, то

Результаты

1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала :

.

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале :


.

Примечания  - Величины  и  представляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 приложения А.

     
     
     Пример - Оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки. При этом считают, что точность станка или технологического процесса известна или достаточно точно оценена заранее.
     
     8.3 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале  и вне его при неизвестной дисперсии приведен в таблице 8.3.
     
     
Таблица 8.3 - Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале  и вне его при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Точечная оценка среднего значения:


2 Сумма значений наблюдаемых величин:

2 Вычисляем:



3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

3 Точечная оценка стандартного отклонения:



4 Границы интервала:

4 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:

нижняя

нижняя

верхняя

верхняя  


5 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы  (см. таблицу 8.1):




Если значение  не задано, то


6 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы  (см. таблицу 8.1):




Если значение  не задано, то  

Результаты

1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала :

.

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале :

.

Примечание - Величины  и  представляют собой значение функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 приложения А.

     
     
     Пример тот же, что в 8.2, но точность станка или технологического процесса неизвестна.
     
     8.4 Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей  приведен в таблице 8.4.
     
     Указанным в таблице 8.4 способом определяют верхнюю доверительную границу  для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей , а также нижнюю доверительную границу  для доли распределения случайной величины в указанном интервале.
     
     Примечание - Здесь и далее следует различать заданный изначально односторонний или двусторонний интервал (допуск) с известной границей (границами) для случайной величины  и доверительный интервал для доли распределения случайной величины в этом допуске и вне его. Границы заданного интервала (допуска)  и  для случайной величины измеряют в тех же единицах величин, какие имеет случайная величина, например: в миллиметрах, граммах и т.п. Границы получаемого доверительного интервала являются безразмерными, как и сама вероятность.
     
     
      Примеры
     
     1 Определение уровня несоответствий для показателя "толщина гальванопокрытия". Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.
     
     2 Оценка доли годных и несоответствующих деталей по показателю качества "твердость после термической обработки". Требование (допуск) одностороннее: =45 ед. Роквелла. Оценка получается в виде верхней доверительной границы  на долю несоответствующей продукции с твердостью ниже 45 ед. Кроме того, получается нижняя доверительная граница  на долю продукции, соответствующей требованию, т.е. на долю деталей с твердостью не ниже 45 ед. Доверительные оценки  и  в отличие от точечных имеют характеристики достоверности утверждений (с вероятностью 1-):
     
     истинная доля годной продукции - не менее ;
     
     истинная доля несоответствующей продукции - не более .
     

Таблица 8.4 - Определение верхней  и нижней  доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей  (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:


 - для  и

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

 - для , причем


,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда


;

4 Степени свободы:

;


;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.


2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :



(см. формулу (2) таблицы 6.2).


2.2 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :




(см. формулу (4) таблицы 7.1).


Примечание - Указанную процедуру повторяют три раза.


3 Интервальная оценка величины  при полученных значениях параметров  и  - (см. таблицу 8.1):



4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:


, , .

Результаты

1 Верхняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Нижняя доверительная граница для :

.

     
     
      8.5 Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей  приведен в таблице 8.5.
     
     Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу  для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей , а также нижнюю доверительную границу  для доли распределения случайной величины в указанном интервале.


Таблица 8.5 - Определение верхней  и нижней  доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей  (дисперсия неизвестна)
     

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:


 - для ;

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

 - для , причем


,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда:


;

4 Степени свободы:

;


;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.


2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :



(см. формулу (1) таблицы 6.2).


2.2 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :




(см. формулу (4) таблицы 7.1).


Примечание - Указанную процедуру повторяют три раза.


3 Интервальная оценка величины  при полученных значениях параметров  и  - (см. таблицу 8.1):



4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:


, , .

Результаты

1 Верхняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Нижняя доверительная граница для :

.

     
     
     Пример - Определение уровня несоответствий для показателя "процент примесей" в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.
           
     
     8.6 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале  и вне его приведен в таблице 8.6.
     
     Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу  для доли распределения вне интервала , а также нижнюю доверительную границу  для доли распределения случайной величины в данном интервале.
     

Таблица 8.6 - Определение верхней  и нижней  доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале  и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:


 - для  и

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

 - для , причем


,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда:


;

4 Степени свободы:

;


;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.


2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Границы интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :

;  .


(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).


2.2  Наихудшая точка :

, если ;


, если .


2.3 Интервальная оценка параметра , соответствующая доверительной вероятности :


(см. формулу (4) таблицы 7.1).

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины  при полученных значениях параметров  и  - (см. таблицу 8.1):



4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:


, , .

Результаты

1 Верхняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Нижняя доверительная граница для :

.

     
     
     Пример - тот же, что в 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.
     
      8.7 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей  приведен в таблице 8.7.
     
     Указанным в таблице 8.7 способом определяют нижнюю доверительную границу  для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей , а также верхнюю доверительную границу  для доли распределения случайной величины в указанном интервале.
     

Таблица 8.7 - Определение нижней  и верхней  доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей  (дисперсия неизвестна)
     

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:


 - для  и

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

 - для , причем


,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда:


;

4 Степени свободы:

;


;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.


2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :



(см. формулу (2) таблицы 6.2).


2.2 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :




(см. формулу (3) таблицы 7.1).


Примечание - Указанную процедуру повторяют три раза.


3 Интервальная оценка величины  при полученных значениях параметров  и  - (см. таблицу 8.1):



4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:


, , .

Результаты

1 Нижняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Верхняя доверительная граница для :

.

     
     
     Пример - Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.
     
      8.8 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей  приведен в таблице 8.8.
     
     Указанным в таблице 8.8 способом определяют нижнюю доверительную границу  для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей , а также верхнюю доверительную границу  для доли распределения случайной величины в указанном интервале.
     
     
     Таблица 8.8 - Определение нижней  и верхней  доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей  (дисперсия неизвестна)
     

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:


 - для  и

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

 - для , причем


,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда:


;

4 Степени свободы:

;


;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.


2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Верхняя граница одностороннего интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :



(см. формулу (2) таблицы 6.2).


2.2 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :




(см. формулу (3) таблицы 7.1).


Примечание - Данную процедуру повторяют три раза.


3 Интервальная оценка величины  при полученных значениях параметров  и  - (см. таблицу 8.1):



4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:


, , .

Результаты

1 Нижняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Верхняя доверительная граница для :

.

     
      
     8.9 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале  и вне его приведен в таблице 8.9.
     
     Указанным в таблице 8.9 способом определяют нижнюю доверительную границу  для доли распределения вне интервала , а также верхнюю доверительную границу  для доли распределения случайной величины в заданном интервале.


Таблица 8.9 - Определение нижней  и верхней  доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале  и вне его (дисперсия неизвестна)
     

Необходимые условия:

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:


 - для  и

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

 - для , причем


,

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

где = 1, 2, 3, тогда:


;

4 Степени свободы:

;


;

5 Выбранная доверительная вероятность:

.


2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения:

6 Границы интервала:

2.1 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :

;  


(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2).


2.2  Наихудшая точка :

, если ;           (2.2.1)


, если ;           (2.2.2)

, если формулы      (2.2.1) и (2.2.2)     не выполняются.


2.3 Интервальная оценка параметра  с доверительной вероятностью :


(см. формулу (3) таблицы 7.1).

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза.

3 Интервальная оценка величины  при полученных значениях параметров  и  - (см. таблицу 8.1):



4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для =1, 2, 3 имеем:


, , .

Результаты

1 Нижняя доверительная граница для , соответствующая доверительной вероятности :

.

2 Верхняя доверительная граница для :

.

     

Приложение А
(справочное)

     
Таблица значений функции стандартного нормального закона распределения

     
     А.1 В таблице А.1 приведены значения функции стандартного нормального закона распределения , рассчитываемой по формуле
     

,                                                                 (А.1)

     
т.е. значения площади  под кривой, рассчитываемой по формуле:
     

,                                                                          (А.2)

     
лежащей левее точки .
     
     А.2 В первой колонке таблицы А.1 приведены значения аргумента  от 0,00 до 0,49, обозначенные буквой . Во второй колонке приведены значения функции  для этих значений аргумента. В последующих колонках таблицы даны значения функции  для значений аргумента  от 0,5 и выше. При этом значение аргумента  находят как сумму  и значений: 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0.
     
     Пример - Для =1,86=(1,5+0,36) находим (1,86)=0,96856.
     
     А.3 Значения функции  для отрицательных значений аргумента  рассчитывают по формуле:
     

.                                                                   (А.3)

     
     А.4 Значение квантили  уровня  находят как значение аргумента , соответствующего значению функции .
     
     Пример - Значению =0,99 соответствует ближайшее табличное значение =0,99010. По таблице А.1 для этого значения функции находят значение аргумента :
     


Таблица А.1 - Значения функции стандартного нормального закона распределения


0,00

0,50000

0,69146

0,84134

0,93319

0,97725

0,99379

0,99865

0,01

0,50399

0,69497

0,84375

0,93448

0,97778

0,99396

0,99869

0,02

0,50798

0,69847

0,84614

0,93574

0,97831

0,99413

0,99874

0,03

0,51197

0,70194

0,84850

0,93699

0,97882

0,99430

0,99878

0,04

0,51595

0,70540

0,85083

0,93822

0,97932

0,99446

0,99882

0,05

0,51994

0,70884

0,85314

0,93943

0,97982

0,99461

0,99886

0,06

0,52392

0,71226

0,85543

0,94062

0,98030

0,99477

0,99889

0,07

0,52790

0,71566

0,85769

0,94179

0,98077

0,99492

0,99893

0,08

0,53188

0,71904

0,85993

0,94295

0,98124

0,99506

0,99896

0,09

0,53586

0,72240

0,86214

0,94408

0,98169

0,99520

0,99900

0,10

0,53983

0,72575

0,86433

0,94520

0,98214

0,99534

0,99903

0,11

0,54380

0,72907

0,86650

0,94630

0,98257

0,99547

0,99906

0,12

0,54776

0,73237

0,86864

0,94738

0,98300

0,99560

0,99910

0,13

0,55172

0,73565

0,87076

0,94845

0,98341

0,99573

0,99913

0,14

0,55567

0,73891

0,87286

0,94950

0,98382

0,99585

0,99916

0,15

0,55962

0,74215

0,87493

0,95053

0,98422

0,99598

0,99918

0,16

0,56356

0,74537

0,87698

0,95154

0,98461

0,99609

0,99921

0,17

0,56750

0,74857

0,87900

0,95254

0,98500

0,99621

0,99924

0,18

0,57142

0,75175

0,88100

0,95352

0,98537

0,99632

0,99926

0,19

0,57535

0,75490

0,88298

0,95449

0,98574

0,99643

0,99929

0,20

0,57926

0,75804

0,88493

0,95543

0,98610

0,99653

0,99931

0,21

0,58317

0,76115

0,88686

0,95637

0,98645

0,99664

0,99934

0,22

0,58706

0,76424

0,88877

0,95728

0,98679

0,99674

0,99936

0,23

0,59095

0,76731

0,89065

0,95818

0,98713

0,99683

0,99938

0,24

0,59483

0,77035

0,89251

0,95907

0,98745

0,99693

0,99940

0,25

0,59871

0,77337

0,89435

0,95994

0,98778

0,99702

0,99942

0,26

0,60257

0,77637

0,89617

0,96080

0,98809

0,99711

0,99944

0,27

0,60642

0,77935

0,89796

0,96164

0,98840

0,99720

0,99946

0,28

0,61026

0,78230

0,89973

0,96246

0,98870

0,99728

0,99948

0,29

0,61409

0,78524

0,90147

0,96327

0,98899

0,99736

0,99950

0,30

0,61791

0,78814

0,90320

0,96407

0,98928

0,99744

0,99952

0,31

0,62172

0,79103

0,90490

0,96485

0,98956

0,99752

0,99953

0,32

0,62552

0,79389

0,90658

0,96562

0,98983

0,99760

0,99955

0,33

0,62930

0,79673

0,90824

0,96638

0,99010

0,99767

0,99957

0,34

0,63307

0,79955

0,90988

0,96712

0,99036

0,99774

0,99958

0,35

0,63683

0,80234

0,91149

0,96784

0,99061

0,99781

0,99960

0,36

0,64058

0,80511

0,91308

0,96856

0,99086

0,99788

0,99961

0,37

0,64431

0,80785

0,91466

0,96926

0,99111

0,99795

0,99962

0,38

0,64803

0,81057

0,91621

0,96995

0,99134

0,99801

0,99964

0,39

0,65173

0,81327

0,91774

0,97062

0,99158

0,99807

0,99965

0,40

0,65542

0,81594

0,91924

0,97128

0,99180

0,99813

0,99966

0,41

0,65910

0,81859

0,92073

0,97193

0,99202

0,99819

0,99968

0,42

0,66276

0,82121

0,92220

0,97257

0,99224

0,99825

0,99969

0,43

0,66640

0,82381

0,92364

0,97320

0,99245

0,99831

0,99970

0,44

0,67003

0,82639

0,92507

0,97381

0,99266

0,99836

0,99971

0,45

0,67364

0,82894

0,92647

0,97441

0,99286

0,99841

0,99972

0,46

0,67724

0,83147

0,92785

0,97500

0,99305

0,99846

0,99973

0,47

0,68082

0,83398

0,92922

0,97558

0,99324

0,99851

0,99974

0,48

0,68439

0,83646

0,93056

0,97615

0,99343

0,99856

0,99975

0,49

0,68793

0,83891

0,93189

0,97670

0,99361

0,99861

0,99976

Примечание -  - значение аргумента  от 0,00 до 0,49. Значение аргумента  от 0,50 и выше находят как сумму  и значений 0,5;  1,0; 1,5 и т.д. (см. обозначения граф таблицы).

     

     
Приложение Б
(справочное)

     
Таблица значений квантилей распределения Стьюдента

     
     Б.1 В таблице Б.1 приведены значения квантилей распределения Стьюдента  уровня  c  степенями свободы.
     
     Пример - Для =9 квантиль уровня =0,99 имеет значение 2,821.
     
     Б.2 Квантили уровня = 0,5 при любом  равны нулю.
     
     Б.3 Квантили уровня < 0,5 находят по формуле
     

.

     
     Б.4 Для промежуточных значений , лежащих между двумя соседними табличными значениями  и :
     


значение квантиля  может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):
     

.

     
   Пример - Для =9 требуется найти квантиль уровня =0,992. Полагаем, что =0,99, =0,995; находим по таблице Б.1 =2,821, =3,250 и вычисляем для степеней свободы =9.

     

.



Таблица Б.1 -Значения квантилей распределения Стьюдента
     

 

Значения квантилей распределения Стьюдента с  степенями свободы для уровня


0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

0,975

0,99

0,995

0,9995

1

0,158

0,325

0,510

0,727

1,000

1,376

1,963

3,078

6,314

12,706

31,821

63,657

636,619

2

0,142

0,289

0,445

0,617

0,816

1,061

1,386

1,886

2,920

4,303

6,965

9,925

31,598

3

0,137

0,277

0,424

0,584

0,765

0,978

1,250

1,638

2,353

3,182

4,541

5,841

12,924

4

0,134

0,271

0,414

0,569

0,741

0,941

1,190

1,533

2,132

2,776

3,747

4,604

8,610

5

0,132

0,267

0,408

0,559

0,727

0,920

1,156

1,476

2,015

2,571

3,365

4,032

6,869

6

0,131

0,265

0,404

0,543

0,718

0,906

1,134

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

5,959

7

0,130

0,263

0,402

0,549

0,711

0,896

1,119

1,415

1,895

2,365

2,998

3,499

5,408

8

0,130

0,262

0,399

0,546

0,706

0,889

1,108

1,397

1,860

2,306

2,896

3,355

5,041

9

0,129

0,261

0,398

0,543

0,703

0,883

1,100

1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

4,781

10

0,129

0,260

0,397

0,542

0,700

0,879

1,093

1,372

1,812

2,228

2,764

3,169

4,587

11

0,129

0,260

0,396

0,540

0,697

0,876

1,088

1,363

1,796

2,201

2,718

3,106

4,437

12

0,128

0,259

0,395

0,539

0,695

0,873

1,083

1,356

1,782

2,179

2,681

3,055

4,318

13

0,128

0,259

0,394

0,538

0,694

0,870

1,079

1,350

1,771

2,160

2,650

3,012

4,221

14

0,128

0,258

0,393

0,537

0,692

0,868

1,076

1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

4,140

15

0,128

0,258

0,393

0,536

0,691

0,866

1,074

1,341

1,753

2,131

2,602

2,947

4,173

16

0,128

0,258

0,392

0,535

0,690

0,865

1,071

1,337

1,746

2,120

2,583

2,921

4,015

17

0,128

0,257

0,392

0,534

0,689

0,863

1,069

1,333

1,740

2,110

2,567

2,898

3,965

18

0,128

0,257

0,392

0,534

0,688

0,862

1,067

1,330

1,734

2,101

2,552

2,878

3,922

19

0,127

0,257

0,391

0,533

0,688

0,861

1,066

1,328

1,729

2,093

2,539

2,861

3,883

20

0,127

0,257

0,391

0,533

0,687

0,860

1,064

1,325

1,725

2,086

2,528

2,845

3,850

21

0,127

0,257

0,391

0,532

0,686

0,859

1,063

1,323

1,721

2,080

2,518

2,831

3,819

22

0,127

0,256

0,390

0,532

0,686

0,858

1,061

1,321

1,717

2,074

2,508

2,819

3,792

23

0,127

0,256

0,390

0,532

0,685

0,858

1,060

1,319

1,714

2,069

2,500

2,807

3,767

24

0,127

0,256

0,390

0,531

0,685

0,857

1,059

1,318

1,711

2,064

2,492

2,797

3,745

25

0,127

0,256

0,390

0,531

0,684

0,856

1,058

1,316

1,708

2,060

2,485

2,787

3,725

26

0,127

0,256

0,390

0,531

0,684

0,856

1,058

1,315

1,706

2,056

2,479

2,779

3,707

27

0,127

0,256

0,389

0,531

0,684

0,855

1,057

1,314

1,703

2,052

2,473

2,771

3,690

28

0,127

0,256

0,389

0,530

0,683

0,855

1,056

1,313

1,701

2,048

2,467

2,763

3,674

29

0,127

0,256

0,389

0,530

0,683

0,854

1,055

1,311

1,699

2,045

2,462

2,756

3,659

30

0,127

0,256

0,389

0,530

0,683

0,854

1,055

1,310

1,697

2,042

2,457

2,750

3,646

40

0,126

0,255

0,388

0,529

0,681

0,851

0,050

1,303

1,684

2,021

2,423

2,704

3,551

60

0,126

0,254

0,387

0,527

0,679

0,848

0,046

1,296

1,671

2,000

2,390

2,660

3,460

120

0,126

0,254

0,386

0,526

0,677

0,845

0,041

1,289

1,658

1,980

2,358

2,617

3,373


0,126

0,253

0,385

0,524

0,674

0,842

0,036

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

3,291

     
     

Приложение В
(справочное)

     
Таблица значений квантилей  распределения

     
     В.1 В таблице В.1 приведены значения квантилей , т.е. квантилей  распределения уровня  с  степенями свободы.
     
     Пример - Для =9 и =0,98 квантиль =19,679.
     
     В.2 Для промежуточных значений , лежащих между двумя соседними табличными значениями  и :
     


значение квантиля  может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):
     

.

Пример - Для =14 требуется найти квантиль уровня =0,988. Полагаем =0,98, =0,99;
находим по таблице B.1 =26,873; =29,141 и вычисляем для степеней свободы =14.
     

.

     
Таблица В.1 - Значения квантилей  распределения

 

Значения квантилей распределения с  степенями свободы для уровня


0,01

0,02

0,05

0,1

0,2

0,3

0,5

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

1

0,0157

0,0628

0,0393

0,0158

0,0642

0,148

0,455

1,074

1,642

2,706

3,841

5,412

6,635

2

0,0201

0,0404

0,103

0,211

0,446

0,713

1,386

2,408

3,219

4,605

5,991

7,824

9,210

3

0,115

0,185

0,352

0,584

1,005

1,424

2,366

3,665

4,642

6,251

7,815

9,837

11,345

4

0,297

0,429

0,711

1,064

1,649

2,195

3,357

4,878

5,989

7,779

9,488

11,668

13,277

5

0,554

0,752

1,145

1,160

2,343

3,000

4,351

6,064

7,289

9,233

11,070

13,388

15,086

6

0,872

1,134

1,635

2,204

3,070

3,828

5,348

7,231

8,558

10,645

12,592

15,033

16,812

7

1,239

1,564

2,167

2,833

3,822

4,671

6,346

8,383

9,803

12,017

14,067

16,622

18,475

8

1,646

2,032

2,733

3,490

4,594

5,527

7,344

9,524

11,030

13,362

15,507

18,168

20,090

9

2,088

2,532

3,325

4,168

5,380

6,393

8,343

10,656

12,242

14,684

16,919

19,679

21,666

10

2,358

3,059

3,940

4,865

6,179

7,267

9,342

11,781

13,442

15,987

18,307

21,161

23,209

11

3,053

3,609

4,575

5,578

6,989

8,148

10,341

12,899

14,631

17,275

19,675

22,618

24,725

12

3,571

4,178

5,226

6,304

7,807

9,034

11,340

14,011

15,821

18,549

21,026

24,054

26,217

13

4,107

4,765

5,892

7,042

8,634

9,926

12,340

15,119

16,985

19,812

22,362

25,472

27,688

14

5,660

5,368

6,571

7,790

9,467

10,821

13,339

16,222

18,151

21,064

23,996

26,873

29,141

15

5,229

5,985

7,261

8,547

10,307

11,721

14,339

17,322

19,311

22,307

24,996

28,259

30,578

16

5,812

6,614

7,962

9,312

11,152

12,624

15,333

18,418

20,465

23,542

26,296

29,633

32,000

17

6,408

7,255

8,672

10,035

12,002

13,531

16,338

19,511

21,615

24,769

27,587

30,995

33,409

18

7,015

7,906

9,390

10,865

12,857

14,440

17,338

20,601

22,760

25,989

28,869

32,346

34,805

19

7,633

8,567

10,117

11,651

13,716

15,352

18,338

21,689

23,900

27,204

30,144

33,687

36,191

20

8,260

9,237

10,851

12,443

14,578

16,266

19,337

22,775

25,038

28,412

31,410

35,020

37,566

21

8,897

9,915

11,591

13,240

15,445

17,182

20,337

23,858

26,171

29,615

32,671

36,343

38,932

22

9,542

10,600

12,338

14,041

16,314

18,101

21,337

24,939

27,301

30,813

33,924

37,659

40,289

23

10,196

11,293

13,091

14,848

17,187

19,021

22,337

26,018

28,429

32,007

35,172

38,968

41,638

24

10,856

11,992

13,848

15,659

18,062

19,943

23,337

27,096

29,553

33,196

36,415

40,270

42,980

25

11,524

12,697

14,611

16,473

18,940

20,867

24,337

28,172

30,675

34,382

37,652

41,566

44,314

26

12,198

13,409

15,379

17,292

19,820

21,792

25,336

29,246

31,795

35,563

38,885

42,856

45,642

27

12,879

14,125

16,151

18,114

20,703

22,719

26,336

30,319

32,912

36,741

40,113

44,140

46,963

28

13,565

14,847

16,928

18,939

21,588

23,647

27,336

31,391

34,027

37,916

41,337

45,419

48,278

29

14,256

15,574

17,708

19,768

22,475

24,577

28,336

32,461

35,139

39,087

42,557

46,693

49,588

30

14,953

16,306

18,493

20,599

23,364

25,508

29,336

33,530

36,250

40,256

43,773

47,962

50,892

     


Приложение Г
(справочное)

     
Таблицы значений квантилей распределения Фишера

     
     Г.1 В таблицах Г.1-Г.9 содержатся значения квантилей  при заданных уровнях  для различных сочетаний степеней свободы  и . Каждая таблица соответствует одному уровню , значение которого указано в заголовке таблицы, и различным значениям  и .
     
     Г.1.1 Для определения квантилей уровня  менее 0,5 следует использовать соотношение:
     

.

     
     Г.1.2 Для промежуточных значений , лежащих между двумя соседними табличными значениями  и :
     

     
значение квантиля  может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):
     

.

     
     Г.1.3 Для промежуточных значений  и , лежащих между двумя соседними табличными значениями  и    или  и , т.е.
     

 или ,

     
значения квантилей ,  могут быть приближенно вычислены по формулам:
     

;

     
     
.

     
     
Таблица Г.1 - Значения квантилей -распределения уровня =0,5


Значения квантилей -распределения уровня =0,5 для степеней свободы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

1

1,0000

1,5000

1,7092

1,8227

1,8937

1,9422

1,9774

2,0041

2,0250

2,0419

2,0674

2,0931

2,1190

2,1321

2,1452

2,1584

2,1716

2,1848

2,1981

2

0,66667

1,0000

1,1349

1,2071

1,2519

1,2824

1,3045

1,3213

1,3344

1,3450

1,3610

1,3771

1,3933

1,4014

1,4096

1,4178

1,4261

1,4344

1,4427

3

0,58506

0,88110

1,0000

1,0632

1,1024

1,1289

1,1482

1,1627

1,1741

1,1833

1,1972

1,2111

1,2252

1,2322

1,2393

1,2464

1,2536

1,2608

1,2680

4

0,54863

0,82843

0,94054

1,0000

1,0367

1,0617

1,0797

1,0933

1,1040

1,1126

1,1255

1,1386

1,1517

1,1583

1,1649

1,1716

1,1782

1,1848

1,1916

5

0,52807

0,79877

0,90715

0,96456

1,0000

1,0240

1,0414

1,0545

1,0648

1,0730

1,0855

1,0980

1,1106

1,1170

1,1234

1,1297

1,1361

1,1426

1,1490

6

0,51489

0,77976

0,88578

0,94191

0,97654

1,0000

1,0169

1,0298

1,0398

1,0478

1,0600

1,0722

1,0845

1,0907

1,0969

1,1031

1,1093

1,1156

1,1219

7

0,50572

0,76655

0,87095

0,92619

0,96026

0,98334

1,0000

1,0126

1,0224

1,0304

1,0423

1,0543

1,0664

1,0724

1,0785

1,0846

1,0908

1,0969

1,1031

8

0,49898

0,75683

0,86004

0,91464

0,93831

0,97111

0,98757

1,0000

1,0097

1,0175

1,0293

1,0412

1,0531

1,0591

1,0651

1,0711

1,0771

1,0832

1,0893

9

0,49382

0,74938

0,85168

0,90580

0,93916

0,96175

0,97805

0,99037

1,0000

1,0077

1,0194

1,0311

1,0429

1,0489

1,0548

1,0608

1,0667

1,0727

1,0788

10

0,48973

0,74349

0,84508

0,89882

0,93193

0,95436

0,97054

0,98276

0,99232

1,0000

1,0116

1,0232

1,0349

1,0408

1,0467

1,0526

1,0585

1,0645

1,0705

11

0,48644

0,73872

0,83973

0,89316

0,92608

0,94837

0,96445

0,97661

0,98610

0,99373

1,0052

1,0168

1,0284

1,0343

1,0401

1,0460

1,0519

1,0578

1,0637

12

0,48369

0,73477

0,83530

0,88848

0,92124

0,94342

0,95943

0,97152

0,98097

0,98856

1,0000

1,0115

1,0231

1,0289

1,0347

1,0405

1,0464

1,0523

1,0582

13

0,48141

0,73145

0,83159

0,88454

0,91718

0,93926

0,95520

0,96724

0,97665

0,98421

0,99560

1,0071

1,0186

1,0243

1,0301

1,0360

1,0418

1,0476

1,0535

14

0,47944

0,72862

0,82842

0,88119

0,91371

0,93573

0,95161

0,96360

0,97298

0,98051

0,99186

1,0033

1,0147

1,0205

1,0263

1,0321

1,0379

1,0437

1,0495

15

0,47775

0,72619

0,82569

0,87830

0,91073

0,93627

0,94850

0,96046

0,96981

0,97732

0,98863

1,0000

1,0114

1,0172

1,0229

1,0287

1,0345

1,0403

1,0461

16

0,47628

0,72406

0,82330

0,87578

0,90812

0,93001

0,94580

0,95773

0,96705

0,97454

0,98582

0,99716

1,0086

1,0143

1,0200

1,0258

1,0315

1,0373

1,0431

17

0,47499

0,72219

0,82121

0,87357

0,90584

0,92767

0,94342

0,95532

0,96462

0,97203

0,98334

0,99466

1,0060

1,0117

1,0174

1,0232

1,0289

1,0347

1,0405

18

0,47385

0,72053

0,81936

0,87161

0,90381

0,92560

0,94132

0,95319

0,96247

0,96993

0,98116

0,99245

1,0038

1,0095

1,0152

1,0209

1,0267

1,0324

1,0382

19

0,47284

0,71906

0,81771

0,86987

0,90200

0,92375

0,93944

0,95129

0,96056

0,96800

0,97920

0,99047

1,0018

1,0075

1,0132

1,0189

1,0246

1,0304

1,0361

20

0,47192

0,71773

0,81621

0,86830

0,90038

0,92210

0,93776

0,94959

0,95884

0,96626

0,97746

0,98870

1,0000

1,0057

1,0114

1,0171

1,0228

1,0285

1,0343

21

0,47108

0,71653

0,81487

0,86688

0,89891

0,92060

0,93624

0,94805

0,95728

0,96470

0,97587

0,98710

0,99838

1,0040

1,0097

1,0154

1,0211

1,0268

1,0326

22

0,47033

0,71545

0,81365

0,86559

0,89759

0,91924

0,93486

0,94665

0,95588

0,96328

0,97444

0,98565

0,99692

1,0026

1,0082

1,0139

1,0196

1,0253

1,0311

23

0,46965

0,71446

0,81255

0,86442

0,89638

0,91800

0,93360

0,94538

0,95459

0,96199

0,97313

0,98433

0,99558

1,0012

1,0069

1,0126

1,0183

1,0240

1,0297

24

0,46902

0,71356

0,81153

0,86335

0,89527

0,91687

0,93245

0,94422

0,95342

0,96081

0,97194

0,98312

0,99436

1,0000

1,0057

1,0113

1,0170

1,0227

1,0284

25

0,46844

0,71272

0,81061

0,86236

0,89425

0,91583

0,93140

0,94315

0,95234

0,95972

0,97084

0,98201

0,99324

0,99887

1,0045

1,0102

1,0159

1,0215

1,0273

26

0,46793

0,71195

0,80975

0,86145

0,89331

0,91487

0,93042

0,94217

0,95135

0,95872

0,96983

0,98099

0,99220

0,99783

1,0035

1,0091

1,0148

1,0205

1,0262

27

0,46744

0,71124

0,80894

0,86061

0,89244

0,91399

0,92952

0,94126

0,95044

0,95779

0,96889

0,98004

0,99125

0,99687

1,0025

1,0082

1,0138

1,0195

1,0252

28

0,46697

0,71059

0,80820

0,85983

0,89164

0,91317

0,92869

0,94041

0,94958

0,95694

0,96802

0,97917

0,99036

0,99598

1,0016

1,0073

1,0129

1,0186

1,0243

29

0,46654

0,70999

0,80753

0,85911

0,89089

0,91241

0,92791

0,93963

0,94879

0,95614

0,96722

0,97835

0,98954

0,99515

1,0008

1,0064

1,0121

1,0177

1,0234

30

0,46616

0,70941

0,80689

0,85844

0,89019

0,91169

0,92719

0,93889

0,94805

0,95540

0,96647

0,97759

0,98877

0,99438

1,0000

1,0056

1,0113

1,0170

1,0226

40

0,46330

0,70531

0,80228

0,85357

0,88516

0,90654

0,92197

0,93361

0,94272

0,95003

0,96104

0,97211

0,98323

0,98880

0,99440

1,0000

1,0056

1,0113

1,0169

60

0,46053

0,70122

0,79770

0,84873

0,88017

0,90144

0,91679

0,92838

0,93743

0,94471

0,95566

0,96667

0,97773

0,98328

0,98884

0,99411

1,0000

1,0056

1,0112

120

0,45774

0,69717

0,79314

0,84392

0,87521

0,89637

0,91164

0,92318

0,93218

0,93943

0,95032

0,96128

0,97228

0,97780

0,98333

0,98887

0,99443

1,0000

1,0056

0,45494

0,69315

0,78866

0,83918

0,87029

0,89135

0,90654

0,91802

0,92698

0,93418

0,94503

0,95593

0,96687

0,97236

0,97787

0,98339

0,98891

0,99445

1,0000

     
     
Таблица Г.2 - Значения квантилей -распределения уровня =0,75


Значения квантилей -распределения уровня =0,75 для степеней свободы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120


1

5,8285

7,5000

8,1999

8,5810

8,8198

8,9833

9,1021

9,1922

9,2631

9,3202

9,4064

9,4934

9,5813

9,6255

9,6698

9,7144

9,7591

9,8041

9,8492

2

2,5714

3,0000

3,1534

3,2320

3,2799

3,3121

3,3352

3,3526

3,3661

3,3770

3,3934

3,4098

3,4263

3,4345

3,4428

3,4511

3,4594

3,4677

3,4761

3

2,0239

2,2798

2,3555

2,3901

2,4095

2,4218

2,4302

2,4364

2,4410

2,4447

2,4500

2,4552

2,4602

2,4626

2,4650

2,4674

2,4697

2,4720

2,4742

4

1,8074

2,0000

2,0467

2,0642

2,0723

2,0766

2,0790

2,0805

2,0814

2,0820

2,0826

2,0829

2,0828

2,0827

2,0825

2,0821

2,0817

2,0812

2,0806

5

1,6925

1,8528

1,8843

1,8927

1,8947

1,8945

1,8935

1,8923

1,8911

1,8899

1,8877

1,8851

1,8820

1,8802

1,8784

1,8763

1,8742

1,8719

1,8694

6

1,6214

1,7622

1,7844

1,7872

1,7852

1,7821

1,7789

1,7760

1,7733

1,7708

1,7668

1,7621

1,7569

1,7540

1,7510

1,7477

1,7443

1,7407

1,7368

7

1,5732

1,7010

1,7169

1,7157

1,7111

1,7059

1,7011

1,6969

1,6931

1,6898

1,6843

1,6781

1,6712

1,6675

1,6635

1,6593

1,6548

1,6502

1,6452

8

1,5384

1,6569

1,6683

1,6642

1,6575

1,6508

1,6448

1,6396

1,6350

1,6310

1,6244

1,6170

1,6088

1,6043

1,5996

1,5945

1,5892

1,5836

1,5777

9

1,5121

1,6236

1,6315

1,6253

1,6170

1,6091

1,6022

1,5961

1,5909

1,5863

1,5788

1,5705

1,5611

1,5560

1,5506

1,5450

1,5389

1,5325

1,5257

10

1,4915

1,5975

1,6028

1,5949

1,5863

1,5765

1,5688

1,5621

1,5563

1,5513

1,5430

1,5338

1,5235

1,5179

1,5119

1,5056

1,4990

1,4919

1,4843

11

1,4749

1,5767

1,5798

1,5794

1,5598

1,5502

1,5418

1,5346

1,5284

1,5230

1,5140

1,5041

1,4930

1,4869

1,4805

1,4737

1,4664

1,4587

1,4504

12

1,4613

1,5595

1,5609

1,5503

1,5389

1,5286

1,5197

1,5120

1,5054

1,4996

1,4902

1,4796

1,4678

1,4613

1,4544

1,4471

1,4393

1,4310

1,4221

13

1,4500

1,5452

1,5451

1,5336

1,5214

1,5105

1,5011

1,4931

1,4861

1,4801

1,4701

1,4590

1,4465

1,4397

1,4324

1,4247

1,4164

1,4075

1,3980

14

1,4403

1,5331

1,5317

1,5194

1,5066

1,4952

1,4854

1,4770

1,4697

1,4634

1,4530

1,4414

1,4284

1,4212

1,4136

1,4055

1,3967

1,3874

1,3772

15

1,4321

1,5227

1,5202

1,5071

1,4938

1,4820

1,4718

1,4631

1,4556

1,4491

1,4383

1,4263

1,4127

1,4052

1,3973

1,3888

1,3796

1,3698

1,3591

16

1,4249

1,5137

1,5103

1,4965

1,4827

1,4705

1,4601

1,4511

1,4433

1,4366

1,4255

1,4130

1,3990

1,3913

1,3830

1,3742

1,3646

1,3543

1,3432

17

1,4186

1,5057

1,5015

1,4873

1,4730

1,4605

1,4497

1,4405

1,4325

1,4256

1,4142

1,4014

1,3869

1,3790

1,3704

1,3613

1,3514

1,3406

1,3290

18

1,4130

1,4988

1,4938

1,4790

1,4644

1,4516

1,4406

1,4312

1,4230

1,4159

1,4042

1,3911

1,3762

1,3680

1,3592

1,3497

1,3395

1,3284

1,3162

19

1,4081

1,4925

1,4870

1,4717

1,4568

1,4437

1,4325

1,4228

1,4145

1,4073

1,3953

1,3819

1,3666

1,3582

1,3492

1,3394

1,3289

1,3174

1,3048

20

1,4037

1,4870

1,4808

1,4652

1,4500

1,4366

1,4252

1,4153

1,4069

1,3995

1,3873

1,3763

1,3580

1,3494

1,3401

1,3301

1,3193

1,3074

1,2943

21

1,3997

1,4820

1,4573

1,4593

1,4438

1,4302

1,4186

1,4086

1,4000

1,3925

1,3801

1,3661

1,3502

1,3414

1,3319

1,3217

1,3105

1,2983

1,2848

22

1,3961

1,4774

1,4703

1,4540

1,4382

1,4244

1,4126

1,4025

1,3937

1,3861

1,3735

1,3593

1,3431

1,3341

1,3245

1,3140

1,3025

1,2900

1,2761

23

1,3928

1,4733

1,4657

1,4491

1,4331

1,4191

1,4072

1,3969

1,3880

1,3803

1,3675

1,3531

1,3366

1,3275

1,3176

1,3069

1,2952

1,2824

1,2681

24

1,3898

1,4695

1,4615

1,4447

1,4285

1,4143

1,4022

1,3918

1,3828

1,3750

1,3621

1,3474

1,3307

1,3214

1,3113

1,3004

1,2885

1,2754

1,2607

25

1,3870

1,4661

1,4577

1,4406

1,4242

1,4099

1,3976

1,3871

1,3780

1,3701

1,3570

1,3422

1,3252

1,3158

1,3056

1,2945

1,2823

1,2689

1,2538

26

1,3845

1,4629

1,4542

1,4368

1,4203

1,4058

1,3935

1,3828

1,3737

1,3656

1,3524

1,3374

1,3202

1,3106

1,3002

1,2889

1,2765

1,2628

1,2474

27

1,3822

1,4600

1,4510

1,4334

1,4166

1,4021

1,3896

1,3788

1,3696

1,3615

1,3481

1,3329

1,3155

1,3058

1,2953

1,2838

1,2712

1,2572

1,2414

28

1,3800

1,4573

1,4480

1,4302

1,4133

1,3986

1,3860

1,3752

1,3658

1,3576

1,3441

1,3288

1,3112

1,3013

1,2906

1,2790

1,2662

1,2519

1,2358

29

1,3780

1,4547

1,4452

1,4272

1,4102

1,3953

1,3826

1,3717

1,3623

1,3541

1,3404

1,3249

1,3071

1,2971

1,2863

1,2745

1,2615

1,2470

1,2306

30

1,3761

1,4524

1,4426

1,4244

1,4073

1,3923

1,3795

1,3685

1,3590

1,3507

1,3369

1,3213

1,3033

1,2933

1,2823

1,2703

1,2571

1,2424

1,2256

40

1,3626

1,4355

1,4239

1,4045

1,3863

1,3706

1,3571

1,3455

1,3354

1,3266

1,3119

1,2952

1,2758

1,2649

1,2529

1,2397

1,2249

1,2080

1,1883

60

1,3493

1,4188

1,4055

1,3848

1,3657

1,3491

1,3349

1,3226

1,3119

1,3026

1,2780

1,2691

1,2481

1,2361

1,2229

1,2081

1,1912

1,1715

1,1474

120

1,3362

1,4024

1,3873

1,3654

1,3453

1,3278

1,3128

1,2999

1,2886

1,2787

1,2621

1,2428

1,2200

1,2068

1,1921

1,1752

1,1555

1,1314

1,0987

1,3233

1,3863

1,3694

1,3463

1,3251

1,3068

1,2910

1,2774

1,2654

1,2549

1,2371

1,2163

1,1914

1,1767

1,1600

1,1404

1,1164

1,0838

1,0000

     
     
Таблица Г.3 - Значения квантилей -распределения уровня =0,999

Значения квантилей -распределения уровня =0,999 для степеней свободы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120

1

405300

500000

540400

562500

576400

585900

592900

598100

602300

605600

610700

615800

620900

623500

626100

628700

631300

634000

636600

2

998,5

999,0

999,2

999,2

999,3

999,3

999,4

999,4

999,4

999,4

999,4

999,4

999,4

999,5

999,5

999,5

999,5

999,5

999,5

3

167,0

148,5

141,1

137,1

134,6

132,8

131,6

130,6

129,9

129,2

128,3

127,4

126,4

125,9

125,4

125,0

124,5

124,0

123,5

4

74,14

61,25

56,18

53,44

51,71

50,53

49,66

49,00

48,47

48,05

47,41

46,76

46,10

45,77

45,43

45,09

44,75

44,40

44,05

5

47,18

37,12

33,20

31,09

29,75

28,84

28,16

27,64

27,24

26,92

26,42

25,91

25,39

25,14

24,87

26,40

24,33

24,06

23,79

6

35,51

27,00

23,70

21,92

20,81

20,03

19,46

19,03

18,69

18,41

17,99

17,56

17,12

16,89

16,67

16,44

1621

15,99

15,75

7

29,25

21,69

18,77

17,19

16,21

15,52

15,02

14,63

14,33

14,08

13,71

13,32

12,93

12,73

12,53

12,33

12,12

11,91

11,70

8

25,42

18,49

15,83

14,39

13,49

12,86

12,40

12,04

11,77

11,54

11,19

10,84

10,48

10,30

10,11

9,92

9,73

9,53

9,33

9

22,86

16,39

13,90

12,56

11,71

11,13

10,70

10,37

10,11

9,89

9,57

9,24

8,90

8,72

8,55

8,37

8,19

8,00

7,81

10

21,04

14,91

12,55

11,28

10,48

9,92

9,52

9,20

8,96

8,75

8,45

8,13

7,80

7,64

7,47

7,30

7,12

6,94

6,76

11

19,69

13,81

11,56

10,35

9,58

9,05

8,66

8,35

8,12

7,92

7,63

7,32

7,01

6,85

6,68

6,52

6,35

6,17

6,00

12

18,64

12,97

10,80

9,63

8,89

8,38

8,00

7,71

7,48

7,29

7,00

6,71

6,40

6,25

6,09

5,93

5,76

5,59

5,42

13

17,81

12,31

10,21

9,07

8,35

7,86

7,49

7,21

6,98

6,80

6,52

6,23

5,93

5,78

5,63

5,47

5,30

5,14

4,97

14

17,14

11,78

9,73

8,62

7,92

7,43

7,08

6,80

6,58

6,40

6,13

5,85

5,56

5,41

5,25

5,10

4,94

4,77

4,60

15

16,59

11,34

9,34

8,25

7,57

7,09

6,74

6,47

6,26

6,08

5,81

5,54

5,25

5,10

4,95

4,80

4,64

4,47

4,31

16

16,12

10,97

9,00

7,94

7,27

6,81

6,46

6,19

5,98

5,81

5,55

5,27

4,99

4,85

4,70

4,54

4,39

4,23

4,06

17

15,72

10,66

8,73

7,68

7,02

6,56

6,22

5,96

5,75

5,58

5,32

5,05

4,78

4,63

4,48

4,33

4,18

4,02

3,85

18

15,38

10,39

8,49

7,46

6,81

6,35

6,02

5,76

5,56

5,39

5,13

4,87

4,59

4,45

4,30

4,15

4,00

3,84

3,67

19

15,08

10,16

8,28

7,26

6,62

6,18

5,85

5,59

5,39

5,22

4,97

4,70

4,43

4,29

4,14

3,99

3,84

3,68

3,51

20

14,82

9,95

8,10

7,10

6,46

6,02

5,69

5,44

5,24

5,08

4,82

4,56

4,29

4,15

4,00

3,86

3,70

3,54

3,38

21

14,59

9,77

7,94

6,95

6,32

5,88

5,56

5,31

5,11

4,95

4,70

4,44

4,17

4,03

3,88

3,74

3,58

3,42

3,26

22

14,38

9,61

7,80

6,81

6,19

5,76

5,44

5,19

4,99

4,83

4,58

4,33

4,06

3,92

3,78

3,63

3,48

3,32

3,15

23

14,19

9,47

7,67

6,69

6,08

5,65

5,33

5,09

4,89

4,73

4,48

4,23

4,23

3,82

3,68

3,53

3,38

3,22

3,05

24

14,03

9,34

7,55

6,59

5,98

5,55

5,23

4,99

4,80

4,64

4,39

4,14

3,87

3,74

3,59

3,45

3,29

3,14

2,97

25

13,88

9,22

7,45

6,49

5,88

5,46

5,15

4,91

4,71

4,56

4,31

4,06

3,79

3,66

3,52

3,37

3,22

3,06

2,89

26

13,74

9,12

7,36

6,41

5,80

5,38

5,07

4,83

4,64

4,48

4,24

3,99

3,72

3,59

3,44

3,30

3,15

2,99

2,82

27

13,61

9,02

7,27

6,33

5,73

5,31

5,00

4,76

4,57

4,41

4,17

3,92

3,66

3,52

3,38

3,23

3,08

2,92

2,75

28

13,50

8,93

7,19

6,25

5,66

5,24

4,93

4,69

4,50

4,35

4,11

3,86

3,60

3,46

3,32

3,18

3,02

2,86

2,69

29

13,39

8,85

7,12

6,19

5,59

5,18

4,87

4,64

4,45

4,29

4,05

3,80

3,54

3,41

3,27

3,12

2,97

2,81

2,64

30

13,29

8,77

7,05

6,12

5,53

5,12

4,82

4,58

4,39

4,24

4,00

3,75

3,49

3,36

3,22

3,07

2,92

2,76

2,59

40

12,61

8,25

6,60

5,70

5,13

4,73

4,44

4,21

4,02

3,87

3,64

3,40

3,15

3,01

2,87

2,73

2,57

2,41

2,23

60

11,97

7,76

6,17

5,31

4,76

4,37

4,09

3,87

3,69

3,54

3,31

3,08

2,83

2,69

2,55

2,41

2,25

2,08

1,89

120

11,38

7,32

5,79

4,95

4,42

4,04

3,77

3,55

3,38

3,24

3,02

2,78

2,53

2,40

2,26

2,11

1,95

1,76

1,54

10,83

6,91

5,42

4,62

4,10

3,74

3,47

3,27

3,10

2,96

2,74

2,51

2,27

2,13

1,99

1,84

1,66

1,45

1,00

     
     

Таблица Г.4 - Значения квантилей -распределения уровня =0,9995

Квантили -распределения уровня =0,9995 степеней свободы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

24

30

40

50

60

100

120

200

500

1

1620000

2000000

2160000

2250000

2310000

2340000

2370000

2390000

2410000

2420000

2430000

2440000

2460000

2480000

2490000

2500000

2510000

2520000

2520000

2530000

2530000

2530000

2540000

2540000

2

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

2000

3

266

237

225

218

214

211

209

208

207

206

204

204

203

201

200

199

199

198

198

197

197

197

196

196

4

106

87,4

80,1

76,1

73,6

71,9

70,6

69,7

68,9

68,3

67,8

67,4

66,5

65,5

65,1

64,6

64,1

63,8

63,6

63,2

63,1

62,9

62,7

62,6

5

63,6

49,8

44,4

41,5

39,7

38,5

37,6

36,9

36,4

35,9

35,6

35,2

34,6

33,9

33,5

33,1

32,7

32,5

32,3

32,1

32,0

31,8

31,7

31,6

6

46,1

34,8

30,4

28,1

26,6

25,6

24,9

24,3

23,9

23,5

23,2

23,0

22,4

21,9

21,7

21,4

21,1

20,9

20,7

20,5

20,4

20,3

20,2

20,1

7

37,0

27,2

23,5

21,4

20,2

19,3

18,7

18,2

17,8

17,5

17,2

17,0

16,5

16,0

15,7

15,5

15,2

15,1

15,0

14,7

14,7

14,6

14,5

14,4

8

31,6

22,8

19,4

17,6

16,4

15,7

15,1

14,6

14,3

14,0

13,8

13,6

13,1

12,7

12,5

12,2

12,0

11,8

11,8

11,6

11,5

11,4

11,4

11,3

9

28,0

19,9

16,8

15,1

14,1

13,3

12,8

12,4

12,1

11,8

11,6

11,4

11,0

10,6

10,4

10,2

9,94

9,80

9,1

9,53

9,49

9,40

9,32

9,26

10

25,5

17,9

15,0

13,4

12,4

11,8

11,3

10,9

10,6

10,3

10,1

9,93

9,56

9,16

8,96

8,75

8,54

8,42

8,33

8,16

8,12

8,04

7,96

7,90

11

23,6

16,4

13,6

12,2

11,2

10,6

10,1

9,76

9,48

9,24

9,04

8,88

8,52

8,14

7,94

7,75

7,55

7,43

7,35

7,18

7,14

7,06

6,98

6,93

12

22,2

15,3

12,7

11,2

10,4

9,74

9,28

8,94

8,66

8,43

8,24

8,08

7,74

7,37

7,18

7,00

6,80

6,68

6,61

6,45

6,41

6,33

6,25

6,20

15

19,5

13,2

10,8

9,48

8,66

8,10

7,68

7,36

7,11

6,91

6,75

6,60

6,27

5,93

5,75

5,58

5,40

5,29

5,21

5,06

5,02

4,94

4,87

4,83

20

17,2

11,4

9,20

8,02

7,28

6,76

6,38

6,08

5,85

5,66

5,51

5,38

5,07

4,75

4,58

4,42

4,24

4,15

4,07

3,93

3,90

3,82

3,75

3,70

24

16,2

10,6

8,52

7,39

6,68

6,18

5,82

5,54

5,31

5,13

4,98

4,85

4,55

4,25

4,09

3,93

3,76

3,66

3,59

3,44

3,41

3,33

3,27

3,22

30

15,2

9,90

7,90

6,82

6,14

5,66

5,31

5,04

4,82

4,65

4,51

4,38

4,10

3,80

3,65

3,48

3,32

3,22

3,15

3,00

2,97

2,89

2,82

2,78

40

14,4

9,25

7,33

6,30

5,64

5,19

4,85

4,59

4,38

4,21

4,07

3,95

3,68

3,39

3,24

3,08

2,92

2,82

2,74

2,60

2,57

2,49

2,41

2,37

60

13,6

8,65

6,81

5,82

5,20

4,76

4,44

4,18

3,98

3,82

3,69

3,57

3,30

3,02

2,87

2,71

2,55

2,45

2,38

2,23

2,19

2,11

2,03

1,98

120

12,8

8,10

6,34

5,39

4,79

4,37

4,07

3,82

3,63

3,47

3,34

3,22

3,96

2,67

2,53

2,38

2,21

2,11

2,01

1,88

1,84

1,75

1,67

1,60

12,1

7,60

5,91

5,00

4,42

4,02

3,72

3,48

3,30

3,14

3,02

2,90

2,65

2,37

2,22

2,07

1,91

1,79

1,71

1,53

1,48

1,36

1,22

1,00

     
     
Таблица Г.5 - Значения квантилей -распределения уровня =0,995

Квантили -распределения уровня =0,995 для степеней свободы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30

40

60

120


1

16211

20000

21615

22500

23056

23437

23715

23925

24091

24224

24426

24630

24836

24940

25044

25148

25253

25339

25465

2

198,50

199,00

199,17

199,25

199,30

199,33

199,36

199,37

199,39

199,40

199,42

199,43

199,45

199,46

199,47

199,47

199,48

199,49

199,51

3

55,552

49,799

47,467

46,195

45,392

44,838

44,434

44,126

43,882

43,686

43,387

43,085

42,778

42,622

42,466

42,308

42,149

41,989

41,829

4

31,333

26,284

24,259

23,155

22,456

21,975

21,622

21,352

21,139

20,967

20,705

20,438

20,167

20,030

19,892

19,752

19,611

19,468

19,325

5

22,785

18,314

16,530

15,556

14,940

14,513

14,200

13,961

13,772

13,618

13,384

13,146

12,903

12,780

12,656

12,530

12,402

12,274

12,144

6

18,635

14,544

12,917

12,028

11,464

11,073

10,786

10,566

10,391

10,250

10,034

9,8140

9,5888

9,4741

9,3583

9,2408

9,1219

9,0015

8,8793

7

16,236

12,404

10,882

10,050

9,5221

9,1554

8,8854

8,6781

8,5138

8,3803

8,1764

7,9678

7,7540

7,6450

7,5345

7,4225

7,3088

7,1933

7,0760

8

14,688

11,042

9,5965

8,8051

8,3018

7,9520

7,6942

7,4960

7,3386

7,2107

7,0149

6,8143

6,6082

6,5029

6,3961

6,2875

6,1772

6,0649