ГOCT P 50779.41-96
(ИСО 7873-93)

Группа Т59

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ ДЛЯ АРИФМЕТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО С ПРЕДУПРЕЖДАЮЩИМИ ГРАНИЦАМИ

Statistical methods. Control charts for arithmetic average
with warning limits

ОКС 03.120.30
ОКСТУ 0011

Дата введения 1997-07-01

Предисловие

     1 РАЗРАБОТАН И ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации ТК 125 "Стандартизация статистических методов управления качеством", Акционерным обществом "Нижегородский научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем" (АО "НИЦ КД")
     
     2 УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 14 августа 1996 г. N 512
     
     3 Разделы (подразделы, приложения) настоящего стандарта, за исключением раздела 4, представляют собой полный аутентичный текст ИСО 7873-93 "Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами" с дополнительными требованиями, отражающими потребности экономики страны
     
     4 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ
     
     

Введение

     Статистическое управление процессом предусматривает использование контрольных карт для арифметического среднего с предупреждающими границами, которые являются модификацией контрольных карт Шухарта.
     
     Контрольные карты (КК) для арифметических средних с предупреждающими границами отличаются высокой чувствительностью к сдвигам уровня процесса.
     
     Эти КК позволяют фиксировать даже самые небольшие сдвиги уровня процесса на основе дополнительной информации, получаемой от точек, попавших в предупреждающую зону. При этом сохраняется возможность определения резких крупных сдвигов в уровне процесса, когда выборочные средние арифметические выходят за пределы границ регулирования. По сравнению с контрольными картами Шухарта предлагаемые КК более чувствительны к незначительным и медленно формирующимся ухудшениям уровня процесса (таким, как сдвиги, не превышающие , где  - стандартное отклонение контролируемого параметра и  - объем выборки).

    1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ

     
     Настоящий стандарт устанавливает процедуры статистического управления процессом с помощью контрольных карт (далее - КК), основанных на вычислении среднего арифметического в выборке и использующих предупреждающие границы и границы регулирования. Предполагают, что для крупных партий и для массового выпуска штучной и серийной продукции контролируемым параметром качества является случайная величина, которая должна подчиняться нормальному закону распределения. Если вычисляют и наносят на КК среднее по четырем или более изделиям, предположение о нормальности распределения необязательно (4.2).
     
     

    2 НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ

     
     В настоящем стандарте использованы ссылки на следующие стандарты:
     
     ГОСТ Р 50779.21-96 Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение
     
     ИСО 3534-1-93* Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 1. Вероятность и основные статистические термины
     
     ИСО 3534-2-93* Статистика. Словарь и условные обозначения. Часть 2. Статистический контроль качества     
____________
     * До прямого применения данного стандарта ИСО в качестве государственного стандарта распространение его осуществляет ВНИИКИ.
     
     

    3 ОПРЕДЕЛЕНИЯ

     
     В настоящем стандарте применяют термины с соответствующими определениями, данные в ИСО 3534-1 и ИСО 3534-2.
     
     

    4 УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ

     
     4.1 Прежде чем применять методы статистического управления процессом, следует в течение базового периода провести статистический анализ интересующего показателя качества, чтобы установить связь между процессом и качеством продукции для выработки рекомендаций по наладке процесса.
     
     Если статистический анализ показывает, что процесс находится в статистически неуправляемом состоянии, и возможности процесса не соответствуют установленным требованиям, то необходимо определить причины сдвигов уровня процесса и способы его настройки.
     
     4.2 Прежде чем применять правила настоящего стандарта, необходимо в первую очередь установить следующее:
     
     а) выборочное среднее арифметическое  распределено по нормальному закону распределения. За исключением особых нетипичных случаев, распределение выборочного среднего арифметического для четырех и более изделий в выборке (согласно центральной предельной теореме) близко к нормальному закону, даже если отдельные наблюдения не подчиняются нормальному закону;
     
     б) индивидуальные измерения, используемые для вычисления , должны быть проведены измерительным инструментом, деление шкалы которого не превышает ;
     
     в) неизвестное значение математического ожидания  выборочных средних  характеризует текущий уровень процесса. Если уровень процесса изменяется, то изменяется и . В этом случае уровень процесса должен быть скорректирован.
     
     Примечание - Следует обратить внимание на понятие "уровень процесса". Именно уровень процесса является объектом управления при применении КК. Поэтому сигналом к корректирующим действиям является не появление несоответствующих единиц продукции, а недопустимое изменение уровня процесса, например, выход  за границы  или , специально установленные для уровня процесса;
     
     
     г) при двустороннем критерии целевой уровень процесса  соответствует значению центра поля допуска на контролируемый параметр, установленного в нормативной документации;
     
     д) стандартное отклонение  контролируемого параметра должно быть постоянным и приемлемым. Это предположение должно быть проверено по контрольной карте выборочных стандартных отклонений или размахов;
     
     е) при применении одностороннего критерия (> или <) целевой уровень процесса предполагают равным , а интерес представляет только нежелательное отклонение уровня процесса в том или ином направлении. Если процесс вышел из статистически управляемого состояния в соответствующем направлении, то необходима корректировка. Значения  и  выбирают так, чтобы указать такие сдвиги уровня процесса ( или ), которые недопустимы и должны быть быстро обнаружены. Эти значения определяют через недопустимое значение доли несоответствующих единиц продукции (приложение А).
     
     Примечание - Здесь важно подчеркнуть, что для статистического управления процессом изначально должны быть заданы и допуск на контролируемый параметр, и недопустимое значение возможной доли несоответствующих единиц продукции. По правилам приложения А эти требования к качеству продукции переводят в требования к качеству процесса через установление недопустимых сдвигов уровня процесса. Выполнение требований к качеству процесса означает выполнение требований к качеству продукции. КК служит инструментом для контроля выполнения требований к качеству процесса;
     
     
     ж) в случае двустороннего критерия (> и <) интерес представляют оба направления возможных отклонений уровня процесса от . Если процесс вышел из статистически управляемого состояния в любом направлении, то он должен быть скорректирован.
     
     Значение , которое характеризует приведенное значение математического ожидания (уровня процесса) для процесса, вышедшего из статистически управляемого состояния, рассчитывают через значения , ,  и (или)  следующим образом:
     

.                                                                                          (4.1)

     Когда величина  постоянна, процесс может выйти из статистически управляемого состояния вследствие изменения  под влиянием неслучайных причин.
     
     Примечание - Важно подчеркнуть, что при применении КК должны быть установлены три вида требований:
     
     - требование к качеству продукции - поле допуска контролируемого параметра и недопустимое значение возможной доли несоответствующих единиц продукции;
     
     - требование к качеству процесса - ,  и (или) ;
     
     - требование к выборочной характеристике  - контрольные границы (предупреждающие и границы регулирования).
     
     Требования к качеству продукции устанавливают в технических условиях и (или) в контракте, требования к качеству процесса - в технологической документации, а контрольные границы - в инструкции для контролера или оператора (наладчика).
     
     

    5 ОПИСАНИЕ МЕТОДА
     
     

     5.1 Статистическое управление процессом осуществляют с использованием контрольных карт для арифметического среднего с предупреждающими границами.
     
     Контрольная карта - это графическое отражение состояния процесса, его уровня и изменчивости. Текущие выборочные значения  наносят на КК, как показано в приложении Б (рисунок Б.1).
     
     5.2 Контрольная карта для арифметического среднего с предупреждающими границами имеет целевую (центральную) линию процесса, соответствующую центру поля допуска контролируемого параметра. Эта линия соответствует значению , предупреждающие границы - значениям , а границы регулирования - значениям , где  - объем выборки. Предполагают, что значения индивидуальных измерений контролируемого параметра, используемые для вычисления, статистически независимы.
     
     и  - коэффициенты, определяющие расположение границ регулирования и предупреждающих границ на КК. Принцип выбора значений  и  описан в разделе 6.
     
     5.3 Контрольная карта может быть нанесена на бланке, на световом табло, приведена в памяти компьютера или представлена в другой удобной форме.
     
     5.4 КК должны находиться как можно ближе к рабочим местам; ввод данных и построение графиков должны быть осуществлены чисто и подробно.
     
     5.5 Необходимо подготовить стандартные рабочие процедуры для определения, подготовки и использования КК как метода измерения изменчивости процесса. Данные по мере их получения должны быть своевременно нанесены на контрольную карту.
     
     5.6 Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими границами могут быть использованы для процессов как с односторонним, так и с двусторонним критериями. Однако обычно используют двусторонний критерий.
     
     5.6.1 В случае, когда процесс находится в статистически управляемом состоянии и имеет двусторонний критерий, выделяют пять зон качества (рисунок 1):
     
     

Рисунок 1 - Зоны качества для статистического управления процессом с двусторонним критерием

     а) зону  (целевую): выборочное среднее арифметическое находится между верхней и нижней предупреждающими границами;
     
     б) зоны  и  (предупреждающие): выборочное среднее арифметическое находится соответственно между верхней предупреждающей границей и верхней границей регулирования или между нижней предупреждающей границей и нижней границей регулирования;
     
     в) зоны  и  (критические): выборочное среднее арифметическое находится соответственно выше верхней или ниже нижней границ регулирования.
     
     5.6.2 В случае, когда процесс находится в статистически управляемом состоянии и имеет односторонний критерий, выделяют три зоны качества (рисунки 2 и 3):
     
     а) зону  (целевую): выборочное среднее арифметическое находится ниже верхней или выше нижней предупреждающих границ в зависимости от конкретного случая;
     
     б) зону  (предупреждающую): выборочное среднее арифметическое находится между предупреждающей границей и границей регулирования;
     
     в) зону  (критическую): выборочное среднее арифметическое находится за пределами границы регулирования.
     
     На рисунке 2 рассмотрен случай, когда нежелательный сдвиг уровня процесса связан с его возрастанием.
     
     

Рисунок 2 - Зоны качества для статистического управления с односторонним критерием - верхние границы

     На рисунке 3 рассмотрен случай, когда нежелательный сдвиг уровня процесса связан с его убыванием.
     
     

Рисунок 3 - Зоны качества для статистического управления с односторонним критерием - нижние границы

     5.7 Выборочное среднее арифметическое наносят на контрольную карту с предупреждающими границами следующим образом: для каждой выборки на КК наносят точку с указанием времени или порядкового номера в качестве абсциссы и соответствующего значения  - в качестве ординаты (рисунок Б.1).
     
     

     6 СТАТИСТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ

     
     6.1 Если хотя бы одна точка попала в верхнюю критическую зону  или в нижнюю критическую зону , то это сигнал о выходе процесса из-под контроля. При получении такого сигнала должна быть определена и устранена причина выхода процесса из статистически управляемого состояния.
     
     6.2 Если установленное количество последовательных точек  попадает в одну из предупреждающих зон - верхнюю  или нижнюю , то это служит сигналом о выходе процесса из-под контроля и необходимости корректировки.
     
     Значения различных параметров для планов статистического управления процессом выбирают в соответствии с разделом 7.
     
     

    7 ВЫБОР ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ПЛАНОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ

     7.1 При выборе плана статистического управления процессом необходимо установить следующие значения:
     
     а) объем выборки  (по 7.3)*;
     
     б) период отбора выборок  (по 7.3)*;     
_______________
     * Значения величин  и  устанавливают предварительно.
     
     
     в) количество последовательных точек  (по 6.2);
     
     г) коэффициенты  и  (по 7.2.2 и 7.4.1), - а также правила принятия решений для корректировки процесса.
     
     Исходными величинами для выбора плана статистического управления процессом являются , ,  и (или)  (в соответствии с разделом 4);  и  [средние длины серий выборок для процессов соответственно в статистически управляемом и неуправляемом состояниях (в соответствии с 7.2 и приложением В)].
     
     7.2 Эффективность процедуры статистического управления процессом может быть оценена через средние длины серий выборок.
     
     7.2.1 Средняя длина серии выборок () процесса - это среднее число выборок, которые будут извлечены до получения сигнала о неуправляемом состоянии процесса, при неизменном уровне процесса. Значения  представлены в таблицах 1-4.  имеет максимальное значение, когда уровень процесса совпадает с целевым уровнем ; значение  резко уменьшается, когда уровень процесса отклоняется от целевого. Контрольная карта должна быть рассчитана таким образом, чтобы были выполнены два условия:
     
     а) при совпадении уровня процесса с целевым уровнем  средняя длина серий выборок обозначается  и должна принимать большое значение. Это обеспечивает низкую вероятность возникновения ложных сигналов о выходе процесса из статистически управляемого состояния;
     
     б) при уровне процесса со значениями  или  средняя длина серий выборок обозначается  и должна принимать малое значение. Это позволяет быстро обнаружить неудовлетворительное состояние процесса.
     
     7.2.2 Для одностороннего критерия в таблицах 1, 2 и 3 в строке  даны значения , равные , и значения , равные , - в строках, соответствующих различным значениям , как функции от , ,  и . При выборе  и  необходимо установить несколько вариантов  и ; из них, насколько это возможно, выбирают те, которые дают максимальное значение отношения /.
     
     

Таблица 1 - Значения  для  = 2,75 (односторонний критерий)

     
Таблица 2 - Значения  для  = 3,00 (односторонний критерий)
     

Таблица 3 - Значения  для  = 3,25 (односторонний критерий)

     
     7.2.3 Для двустороннего критерия следует использовать таблицы 1-4. Для процесса в статистически управляемом состоянии значения , равные , определяют из таблицы 4 в строке  = 0. Для процесса в статистически неуправляемом состоянии значения , равные , определяют по таблице 4 при <1 и по таблицам 1-3 при 1, так как для 1 значения  для двустороннего критерия совпадают со значениями  для одностороннего критерия (таблица B.1).
     

Таблица 4 - Значения  (двусторонний критерий)

     
     
     7.2.4 Для значений , отсутствующих в таблицах 1-4, соответствующие значения  получают путем линейной интерполяции.
     
     7.3 Объем выборки , как показано в формуле (рисунок B.I) приложения В, влияет на кривые  так же, как и параметры , ,  и . Причем для того же самого числа наблюдений или измерений можно разработать контрольную карту с длительным периодом взятия выборок t и малым объемом выборок  или наоборот.
     
     В каждом практическом случае различные экспериментальные комбинации  и  должны быть тщательно проанализированы при построении КК и определении окончательных значений параметров  и . Контрольная карта с окончательными значениями  и  должна быть оценена с учетом прошедшего протекания процесса.
     
     В большинстве случаев предварительный выборочный план (,) может служить в качестве базовой пробной комбинации. Другие пробные значения можно сравнить с ним путем сопоставления получающихся значений  и  и затрат.
     
     7.4 Таблицы 1-4 предназначены для выбора планов статистического управления процессом.
     
     7.4.1 Если значения  и  так же, как  и  (и ограничения для них) определены заранее, то значения параметров ,  и  могут быть найдены по значениям  из таблиц 1-4 (с интерполяцией в случае необходимости) (Б.2).
     
     Если есть несколько планов статистического управления процессом, удовлетворяющих установленным требованиям (по Б.2), то из них необходимо выбрать план, обеспечивающий максимум отношения /, с учетом 7.2. Если значение отношения  / высокое (больше или равно 40) для нескольких планов, то рекомендуется выбрать вариант с наименьшим значением .
     
     7.4.2 Если объем выборки  предварительно не указан, то его возможное значение может быть найдено по таблицам 1-4. Для этого выбирают сначала те колонки в таблицах 1-4, для которых значение  удовлетворяет заданным ограничениям, а затем первое число, меньшее или равное заданному значению . После этого из соответствующего значения  при известном  вычисляют  и округляют до ближайшего целого числа (по Б.4).
     
     В этом случае получается несколько вариантов планов статистического управления процессом, и предпочтение должно быть отдано тому плану, который обеспечивает наименьший объем выборки (с учетом 7.2 и 7.4.1). Это особенно важно в ситуациях, когда затраты на контроль велики.
     

     7.5 В условиях промышленного производства продукции могут происходить различные изменения, например, замена операторов с разной квалификацией, смена поставляемых материалов, сужение или расширение границ регулирования по технологическим или экономическим соображениям и т.п. Все эти изменения должны быть незамедлительно отражены в планах статистического управления процессом.
     
     В нормативных документах должно быть записано, что в течение некоторых установленных периодов времени (месяца, квартала, года и т.д.) КК и другие нормативные документы должны быть подвергнуты статистическому анализу для их обновления. Частота такого анализа должна быть определена производственной необходимостью.
     
     

ПРИЛОЖЕНИЕ А
(обязательное)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕДОПУСТИМОГО ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНЕГО УРОВНЯ ПРОЦЕССА НА ОСНОВЕ ДОЛИ НЕСООТВЕТСТВУЮЩИХ ЕДИНИЦ ПРОДУКЦИИ

     А.1 Односторонний критерий

     
     Пусть контролируют верхнее отклонение уровня процесса. Задана верхняя граница технического допуска  для контролируемого параметра . В этом случае долю несоответствующих единиц продукции  для процесса в статистически управляемом состоянии определяют по формуле
     

.                                                                                        (А.1)

     Долю несоответствующих единиц продукции  для процесса в статистически неуправляемом состоянии определяют по формуле
     

,                                                                                         (А.2)

где  - функция стандартного нормального закона распределения.

     Следовательно, если  и  известны, то  может быть определено по формуле
     

,                                                                    (А.3)

где  - квантиль стандартного нормального закона распределения уровня ().

     Аналогично, если контролируют нижнее отклонение уровня процесса и задана нижняя граница технического допуска  для количественного признака  то

;                                                             (А.4)

,                                                            (А.5)

и  можно определить по следующей формуле:

,                                                            (А.6)

где ,  и  определены выше.

    

 А.2 Двусторонний критерий

     
     Это тот же случай, что и случай, когда .
     
     Используя те же обозначения, что и в А.1, получают
     

;                                                                             (А.7)

  .                                                         (А.8)

     Поскольку обычно
     

,

то значениями

можно пренебречь. Тогда  и  могут быть определены с помощью формул (А.3) и (А.6) соответственно.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б
(информационное)

ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ НАСТОЯЩЕГО СТАНДАРТА

     Б.1 Пример расчета контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами для производственного процесса поддержания концентрации азота в аммиаке
     
     25%-ю концентрацию азота в аммиаке считают нормальной для процесса в статистически управляемом состоянии.
     
     Даны пределы концентрации азота:
     
     =27,5%;
     
     =22,5%.
     
     Максимально нежелательный уровень несоответствий равен 3%.
     
     Из предыдущих экспериментальных данных известно, что  = 1%.
     
     Определяют значения  и .
     
     Согласно формулам (А.3) и (А.6)
     
      = 27,50% - 1%х = 27,50% - 1,88% = 25,62%;
     
      = 22,50% + 1,88% = 24,38%.
     
     Б.2 Значение объема выборки для условий примера Б.1 взято равным 5, т.е.  = 5. Контрольные границы на контрольной карте должны быть построены таким образом, чтобы  для процесса в статистически управляемом состоянии () составляла как минимум 300 и для процесса с максимально нежелательным уровнем процесса () - не превышала 12.
     
     Имеют     

и

.
 

     Комбинацию коэффициентов, определяющих положение границ регулирования и предупреждающих границ на контрольных картах , , и количество последовательных точек  выбирают из таблиц 1-4 (с интерполяцией для значения =1,39), так чтобы 300 и <12 (таблица 4), т.е. 600 и <12, если используют таблицы 1-3 настоящего стандарта (В.3).
     
     Результаты представлены в таблице Б.1.
     
     
Таблица Б.1
     

     
     
     Установленные исходные данные приводят к неоднозначности плана контроля (получилось четыре возможных варианта). Согласно 7.4.1 (поскольку отношение />50) выбирают план с минимальным , т.е. третью строку в таблице Б.1.
     
     Таким образом, =3; =3,25; =1,25.
     
     В соответствии с разделом 5 для нанесения на контрольную карту границ получены следующие значения:
     
     для границ регулирования
     

;

;

     для предупреждающих границ
     

;

.

     Б.3 Для условий, приведенных в Б.1 и Б.2, были получены следующие значения : 25,1; 25,2; 24,2; 25,6; 24,1; 24,3; 25,0; 25,3; 25,9; 24,7; 25,1; 25,3; 24,9; 25,4; 24,8; 24,7; 25,9; 25,6; 25,7% (рисунок Б.1).
     
     

Рисунок Б.1 - Пример контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами

     После 19-й выборки необходимо принять решение о наладке процесса, так как последние три точки (25,9; 25,6; 25,7) находятся в зоне  между предупреждающей границей и границей регулирования.
     
     Следует обратить внимание на то, что две другие соседние точки (24,1 и 24,3) находятся в зоне , и корректировка процесса не может быть произведена, так как в соответствии с принятой процедурой этих точек должно быть три.
     
     Корректировка должна быть осуществлена немедленно при первом же значении  либо больше 26,45, либо меньше 23,55.
     
     Примечание - 3 - границы показаны на рисунке Б.1 пунктирными линиями. Как видно из этого рисунка, контрольная карта Шухарта не позволила бы осуществить корректировку рассмотренного процесса.
     
     
    Б.4 Для , ,  и , приведенных выше, а также условий, установленных для  и , необходимо найти план контроля, дающий наименьший объем выборки. Из колонки таблицы Б.1, соответствующей 600, находят, что минимальное значение , для которого <12, равно 1,4 (например, план с параметрами =3,0, =1,5, =3 дает =10,3; план с параметрами =3,25, =1,25 и =3 дает  = 8,8).
     
     Отсюда  и  = 5.
     
     

ПРИЛОЖЕНИЕ В
(информационное)

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ
     

     B.1 Общая часть

     
     Контрольные карты, использующие только границы регулирования, не во всех случаях достаточно чувствительны к изменению уровня процесса.
     
     Средняя длина серии выборок, по результатам которых принимают решение о корректировке процесса, - критерий чувствительности КК к сдвигу уровня процесса. Если процесс находится в статистически управляемом состоянии, то решение о корректировке ошибочно. В этом случае средняя длина серии выборок должна быть максимально возможной.
     
     Если же процесс вышел из статистически управляемого состояния, то решение о его корректировке необходимо принять как можно быстрее. Здесь средняя длина серии выборок должна быть по возможности меньшей.
     
     Введение предупреждающих границ повышает чувствительность КК к определению состояния процесса.
     
     Если сравнить КК с предупреждающими границами с контрольными картами Шухарта для одного и того же значения  , то поскольку <2,5, КК с предупреждающими границами имеют гораздо меньшие значения .
     
     

,

     
где  - функция нормального распределения.
     

Рисунок B.1 - Сравнение значений , полученных для процесса, находящегося в статистически неуправляемом состоянии для обычной контрольной карты Шухарта (пунктирная линия) и контрольной карты с предупреждающими границами (сплошная линия)

     На рисунке B.1 сплошная линия представляет значения  для контрольной карты для арифметического среднего с предупреждающими границами с односторонним критерием с зонами качества при =3,00; =1,75; =2 (таблица 2 настоящего стандарта). Пунктирная линия показывает значения  для обычной КК Шухарта с односторонним критерием, рассчитанной для того же значения  = 346,2, что и первая КК (границы будут на расстоянии 2,76х от центральной линии).
     
     Пример приведен для одностороннего критерия. Для двустороннего критерия кривые строят по тем же правилам (7.2.3).
      
  

     В.2 Формулы для вычисления с односторонним критерием
     

     Точка на контрольной карте может попасть в зону  с вероятностью , в зону  - с вероятностью , а в зону  - с вероятностью 1-- (рисунок 2 настоящего стандарта), где вероятности  и  определяют по формулам:
     

;                                                                          (В.1)

 ,                                                            (В.2)

где  - функция стандартного нормального закона распределения, значения которой приведены в приложении А ГОСТ Р 50779.21;

      - переменная интегрирования и  = 0 для процесса в статистически управляемом состоянии.

     Среднюю длину серий выборок  определяют по формуле
     

.                                                                    (В.3)

     Когда  = 2, рекомендуют использовать формулу (В.3) в следующем виде:
     

.                                                                    (В.4)

     Значения  в таблицах 1-3 настоящего стандарта вычислены с использованием приведенных формул.
           

   
     В.3 Формула для вычисления  с двусторонним критерием

     
     В случае двустороннего критерия формула (В.3) принимает вид (при  = 2):
      

,                                                              (В.5)

rдe  и  - вероятности попадания в зоны  и  соответственно;

      - вероятность попадания в зону Т.
     
     Очевидно, что , где  определяют по формуле (B.1).
     
     Когда  = 0, то  и формула (В.4) принимает вид
     

                                  (В.6)

     Когда , меньшая из вероятностей  и  (например, ) становится настолько малой, что ею можно пренебречь.
     
     Таким образом, для малых значений  (0,2; 0,4) необходимо учитывать разницу между значениями  с односторонним и двусторонним критериями, но если  > 0,6, то эта разница становится настолько малой, что ею можно пренебречь (таблица B.1).
     
     
Таблица B.1 - Значение , в случаях с двусторонним и односторонним критериями

     
     
     Затем, если , , то формула (В.5) переходит в формулу (В.4), т.е.  процесса, вышедшего из-под контроля, будет такой же, как и  процесса с односторонним критерием:
     

.                                                                                                      (B.7)

     Например, если причиной выхода процесса из-под контроля служит увеличение значения уровня процесса, то возможность выхода за нижнюю предупреждающую границу можно не брать в расчет как и в случае одностороннего критерия.
     
     Формулы (В.6) и (В.7) также применимы для =3 и =4.
          
     

     В.4 Взаимосвязь приведенных формул с теорией цепей Маркова

     
     
     Формулы (В.3), (В.4) и (В.5) могут быть выведены с помощью теории цепей Маркова.
     
     Для процесса с односторонним критерием и =2 следует рассматривать цепь Маркова с тремя состояниями:
     
     а) точка находится в зоне ;
     
     б) точка находится в зоне , в то время как предыдущая точка - в зоне ;
     
     в) точка находится в зоне  или в зоне  вместе с предыдущей.

          
     
     Текст документа сверен по:
     официальное издание
     М.: ИПК Издательство стандартов, 1996